Kurz gesagt
Die Firma ist im Rechtssinn der Name, unter dem ein Kaufmann seine Geschäfte betreibt und unterschreibt. Sie muss unterscheidungskräftig sein, darf nicht irreführen und muss den Rechtsformzusatz enthalten.
Firma einfach erklärt
Umgangssprachlich meint "Firma" das ganze Unternehmen, rechtlich nur dessen Namen (§ 17 Abs. 1 HGB). Möglich sind Personen-, Sach- und Fantasienamen, solange die Firma zur Kennzeichnung geeignet ist, Unterscheidungskraft besitzt und nicht über wesentliche geschäftliche Verhältnisse irreführt (§ 18 HGB). Pflicht ist der Rechtsformzusatz, etwa "GmbH", "UG (haftungsbeschränkt)", "e.K.", "OHG" oder "KG" (§ 19 HGB, §§ 4, 5a GmbHG). Eine GbR betreibt kein Handelsgewerbe und führt deshalb keine Firma, sondern einen Namen. Prüfe vor der Gründung auch, ob der Name eine ältere Marke verletzt, denn ein Handelsregistereintrag ist keine Marke.